高中数学:向量在几何中的应用

解决立体几何问题“平移是手段，垂直是关键”，空间向量的方法是使用向量的代数方法去解决立体几何问题。两向量共线易解决平行，两向量的数量积则易解决垂直、两向量所成的角、线段的长度问题。合理地运用向量解决立体几何问题，在很大程度上避开了思维的高强度转换，避开了添加辅助线，代之以向量计算，使立体几何问题变得思路顺畅、运算简单。

1. 证平行、证垂直

具体方法利用共线向量基本定理证明向量平行，再证线线、线面平行是证明平行问题的常用手段，由共面向量基本定理先证直线的方向向量与平面内不共线的两向量共面，再证方向向量上存在一点不属于平面，从而得到线面平行。

证明线线、线面垂直则可通过向量垂直来实现。

例1 如图1，E、F分别为空间四边形ABCD中AB、CD的中点，证明AD、EF、BC平行于同一平面。

图1

证明：

，且

又

所以

即

可知，

与

共面，所以EF与AD、BC平行于同一平面。

例2. 已知A（1，－2，11），B（4，2，3），C（6，－1，4），则ΔABC是___________。

分析：

（3，4，－8），

（5，1，－7），

（2，－3，1）显见：

，故ΔABC为直角三角形。

2. 求角、求距离

如果要想解决线面角、二面角以及距离问题就要增加平面法向量的知识。

定义：如果n⊥α，那么向量n就叫平面α的法向量。

求解方法：

（1）异面直线所成的角α，利用它们所对应的向量转化为向量的夹角θ问题，但

，

，所以

（2）直线与平面所成的角，利用直线的方向向量与平面的法向量夹角的余角（或补角的余角）。如图2：

。

图2

（3）求二面角，转化为两平面法向量的夹角或夹角的补角，显见上述求法都避开了找角的繁琐，直接计算就可以了。

求点面距离，转化为此点与面内一点连线对应向量在法向量上投影的绝对值。

例3. 如图3，已知长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AB＝2，AA₁＝1，直线BD与平面AA₁B₁B所成的角为30°，AE垂直BD于E，F为A₁B₁的中点。

（1）求异面直线AE与BF所成的角。

（2）求平面BDF与平面AA₁B所成二面角（锐角）的大小。

（3）求点A到平面BDF的距离。

图3

解：在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AA₁所在直线为z轴，建立空间直角坐标系如图3，所以A（0，0，0），B（2，0，0），F（1，0，1），因为直线BD与平面AA₁B₁B所成的角为30°，所以∠DBA＝30°又AB＝2，AE⊥BD，所以AE＝1，AD＝

，因为E（

，

，0），D（0，，0）（1）因为

所以

即异面直线AE、BF所成的角为

（2）易知平面AA₁B的一个法向量m＝（0，1，0），设n＝（x，y，z）是平面BDF的一个法向量，

由

所以

取

所以

（3）点A到平面BDF的距离即

在平面BDF的法向量n上的投影的绝对值。所以

例4. 如图4，已知正四棱锥R—ABCD的底面边长为4，高为6，点P是高的中点，点Q是侧面RBC的重心。求直线PQ与底面ABCD所成的角。

图4

解：以O为原点，以OR所在直线为z轴，以过O与AB垂直的直线为x轴，与AB平行的直线为y轴建立空间直角坐标系。

因为底面边长为6，高为4，所以B（2，2，0），C（－2，2，0），R（0，0，6），所以Q（0，

，2），P（0，0，3），

（0，，－1），面ABCD的一个法向量为n＝（0，0，1），设PQ与底面ABCD所成的角为α，则

。

空间向量在立体几何中的应用体现了数形结合的思想，培养了学生使用向量代数方法解决立体几何问题的能力。目的是将空间元素的位置关系转化为数量关系，将形式逻辑证明转化为数值计算，用数的规范性代替形的直观性、可操作性强，解决问题的方法具有普遍性，大大降低了立体几何对空间想象能力要求的难度。