高中数学向量中的三类常用不等式

本文不包括极化恒等式和柯西不等式等求最值的方法，只是单纯从向量本身具有的不等关系以及结合基本不等式引申出来的不等关系，而同学们大都习惯了建系设点求最值等常规解法，对向量本身的不等式重视不够，今天给出三类向量中常用的不等关系。

一、向量三角不等式

该不等式是向量形式的绝对值三角不等式，在向量中可利用向量几何运算中的加减法以及结合三角形三边关系进行证明，从左往右可依次看作两边之差，第三边，两边之和，该不等式与模长的加减运算有关，需要注意不等式中的系数不一定都是1，出现非1的系数时适当对不等式变形即可，这是高中阶段相当重要的一类不等关系式。

上面三个题属于对向量绝对值三角不等式的初级应用，注意第三题中动点数量过多，根据条件转化为只含有动点C的不等式求最值即可。

第四题是一道很不错的题目，根据弦长不仅可求出圆心到AB所在直线的距离，还可求出∠AOB的三角函数值，将向量PA,PB转化为向量OA,OB,OP的形式，以OA,OB为基底的向量的模长可求出，利用三角不等式，可转化为与向量OP模长有关的不等式形式，求出a的范围即可。

第五题是之前发过的一道题目，向量PC以PA,PB为基底，根据所给条件可求出向量PA+PB与PA-PB的模长，以PA+PB与PA-PB作为基底表示出PC，用绝对值三角不等式求出范围即可，题目很有代表性。

不等式使用时需要注意取等的条件，以上题目全都需要考虑等号能否成立，在此说明。

二、数量积不等式

数量积不等式很容易理解，根据两共线向量的同向或反向确定出最值，这个不等式在向量专题中独立使用的不多，常伴随着下面第三种不等式，之前给出过用该方法求特定根式型函数的最值，链接为：用向量数量积求一类特定函数的最值问题，在此只给出两个简单的例题：

第六题的重点是将所求转化为向量数量积，这种方法比题目本身更重要，但不得不提到一个类似值得注意的题目：求y=2sinx+sin2x的最小值的两种错误思路,第七题的解法常用的有三种，即三角换元，柯西不等式，数量积不等式，不再细说。

三、与基本不等式有关的向量不等式

上述六种不等式和不等式专题的基本一致，但灵活性比基本不等式中稍高，例如前两个不等式就需要根据所求数量积的最值不同采用不同的形式，虽然向量的平方和模的平方相等，但在上述不等式中向量的平方与向量有关，模的平方与模有关，两者取等时的条件不同，一个是共线，另一个是模长相等，需要留意区分，结合第二种数量积不等式又可以得到模长与向量乘积的不等关系，这种题目虽然难度不大，但有时候很容易直接错用基本不等式中的形式。

第八题第九题和均值不等式相似，使用起来都有些凑系数的意思，第八题根据所需求的最值采用第二个不等式，这种题目无论系数是多少做法均相同，但直接平方之后，转化为与模长有关的不等式后再结合数量积不等式更容易理解一些，但取等时也是即要满足共线又要满足特定的模长关系。

第九题和第十题所用不等式相同，关于这个不等式的证明和基本不等式中一个不太常用的不等式有关，即(a2+b2)/2≥[(a+b)/2]2。

以上三类不等式中的例题算是抛砖引玉，好好理解三类不等式的使用条件和取等条件，这种纯向量的知识点在同步课中较为常见，但高考向量更多考查跨专题的应用，单纯使用以上三类不等式的题目不算太多，高三复习时不要遗漏了相关的知识点即可。