高中数学:空间向量及其线性运算讲解

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前言：为什么用空间向量研究空间几何？

一、空间向量的基本概念

空间向量是具有大小和方向的量，它在空间中表现为有向线段。与平面向量类似，但扩展到了三维空间。在空间直角坐标系中，空间向量可以用坐标表示，如向量可以用坐标形式表示，其中我们得到分别代表向量在轴、轴、轴上的投影长度。

二、空间向量运算的便捷性

空间向量的运算包括向量加减、数乘向量、向量点积和向量叉积等，这些运算遵循相应的运算法则，有助于简化空间几何问题。

1、向量加减：指将两个向量的坐标分别相加减得到新的向量。

2、数乘向量：指将一个数乘以向量的坐标，得到一个新的向量。

3、向量点积：指两个向量对应坐标相乘再相加，得到一个实数，它代表了两个向量之间的夹角和长度信息。

4、向量叉积：指两个向量叉乘得到一个新的向量，它垂直于这两个向量，大小等于这两个向量所构成的平行四边形的面积。

三、空间向量在几何中的应用

1、表示几何元素：空间向量可以用来表示空间中的点、直线、平面。例如，空间中的点可以用其坐标向量表示，直线可以用方向向量和一个点表示，平面可以用法向量和一个点表示。

2、计算几何量：利用空间向量，可以方便地计算空间中点到直线、点到平面的距离，以及直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角。

3、研究几何性质：空间向量可以用来证明几何性质，如平行、垂直、共面、共线等。通过向量运算，可以判断两个向量是否平行或垂直，从而推断出相应的几何性质。

4、简化几何证明：空间向量可以将复杂的几何证明转化为简洁的向量运算，从而简化证明过程。

四、空间向量的直观性和高效性

1、直观表达几何关系：空间向量可以直观地表达点、直线、平面之间的几何关系，有助于理解空间几何图形的结构和性质。

2、提高解题效率：空间向量运算相对简单且直观，能够有效地简化空间几何的计算，提高解题效率。

空间向量的有关概念

1、空间向量的定义

在空间，像位移、力、速度、加速度这样既有大小又有方向的量，叫作空间向量.

2、空间向量的表示

空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段来表示.

3、空间向量的线性运算

①空间向量的加法、减法与数乘运算的意义，如图.

②空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律：

运算律(其中)

ⅰ交换律：

ⅱ结合律：

ⅲ分配律：

向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算.

特殊的空间向量

1、零向量

规定长度为0的向量叫做零向量，记为

2、单位向量

模为1的向量叫做单位向量;

3、相反向量

与向量长度相等而方向相反的向量，叫做的相反向量，记为

4、共线向量

如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量都有几何关系

5、相等向量

方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.

共线向量及共线向量定理

1、空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量的充要条件是存在实数使

2、方向向量：如图，是直线上一点，在直线上取非零向量则对于直线上任意一点由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数使得我们把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量.

思考：由数乘能否得出

提示 不能，理由如下：

3、向量和直线平行：如果表示向量的有向线段所在的直线与直线平行或重合，那么称向量平行于直线

4、向量和平面平行：如果表示向量的有向线段所在的直线平行于平面或在平面内，那么称向量平行于平面

5、共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．

6、空间向量共面的充要条件：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对使

思考：若向量满足以下关系式那么向量共面吗？

提示 共面，理由如下：

当与共线时，我们能显然知道向量共面；当与不共线时，由向量共面的充要条件，我们可知向量共面．

共线向量及共线向量定理在高考中的价值取向

1、基础知识考察

高考数学中，共线向量及共线向量定理是平面向量部分的基础知识，对于这部分内容的理解和掌握，是解答相关题目的基础。

通过考察共线向量的判断、共线向量定理的应用等，可以检验学生对这部分基础知识的掌握程度。

2、逻辑推理能力

共线向量定理的推导和应用需要逻辑推理能力，学生需要根据题目条件，运用定理进行推理和计算。

这类题目往往要求学生能够灵活运用定理，结合其他数学知识进行综合分析，从而得出正确的结论。

3、综合能力考察

在高考中，共线向量及共线向量定理常常与其他知识点结合进行考察，如与向量加减、数乘、模长等知识点的结合。

这类综合题目能够全面考察学生的数学素养和综合能力，要求学生能够熟练掌握各个知识点的联系和区别，灵活运用所学知识进行解题。

4、实际应用

共线向量及共线向量定理在实际生活中有着广泛的应用，如物理学中的力、速度、加速度等向量的分析。

通过高考对这些知识点的考察，可以引导学生关注数学与实际生活的联系，培养他们的应用意识和实践能力。

备考建议

1、熟练掌握基本概念和定理

学生在备考过程中，应首先熟练掌握共线向量的基本概念和共线向量定理的内容，理解定理的推导过程和应用方法。

2、加强逻辑推理训练

通过多做相关题目，加强逻辑推理能力的训练，提高运用定理进行推理和计算的能力。

3、注重综合应用

在备考过程中，应注重共线向量及共线向量定理与其他知识点的综合应用，提高综合解题能力。

4、关注实际应用

关注数学与实际生活的联系，了解共线向量及共线向量定理在实际生活中的应用，培养应用意识和实践能力。

以下是相关练习题目（有需要的请收藏）