高中数学:向量垂直、共线在解析几何中的应用

高中数学人教版把平面向量作为处理平面问题的工具（如两点距离公式，向量共线定理，向量垂直，定比分点坐标公式，平移，夹角等）。尤其是垂直与共线问题，使用向量垂直与向量共线比传统方法简单许多。

例1. 过定点A（a，b）任作互相垂直的两直线

，且

轴交于M点，

轴交于N点，求线段MN中点P的轨迹方程。

解：设

，由中点坐标公式得

则向量

因为

所以

整理得

该解法避开斜率，不再分斜率存在和不存在两种情况进行讨论，也就不存在丢掉斜率不存在的情况，同时也简化了计算。该题的实质是向量垂直的应用。

例2. 设圆

，过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点P的轨迹方程。

解：设，圆心

，则由圆的性质知

，则

所以

又

所以

整理得：

即

该解题法较多，但直接用斜率，仍需讨论。利用向量垂直，简单且不用讨论。该题的实质也是向量垂直的应用。

例3. 已知椭圆

，直线

，P是上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足

。当点P在上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么。

解：设

，由题意知

不同时为零，则

因为

共线且向量

同向

所以

都是正数

则

又

在上，

故

即

又

即

所以

整理得：

即

即

显然

在其上，但不满足题意，应舍去。

∴点Q的轨迹是以（1，1）为中心，长半轴长为

，短半轴长为

，且长轴与x轴平行的椭圆，去掉坐标原点。

该题的实质是向量共线的应用。设出Q点坐标，利用共线得P和R的坐标及向量

关系，找到

与

的关系，再利用点P在直线上，点R在椭圆上找到x，y关系，从而使问题得到解决。

例4. 已知椭圆

的右准线

轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点，点C在右准线上，且

轴。求证：直线AC经过线段EF的中点。

证明：依题设得椭圆的半焦距c=1，右焦点为F（1，0），右准线方程为

，点E的坐标为（2，0），EF的中点

。

若AB垂直于x轴，则

，

则AC中点为

即AC过EF中点N，若AB不垂直于x轴，由直线AB过点F，且由BC//x轴知点B不在x轴上，故直线AB的方程为

。

联立

，消去y得

设

则

，且

又

，

都在

上

所以

又

则

共线，故三点A、N、C共线，即直线AC经过线段EF的中点N。

大多数同学能做到消元后得两根之和与两根之积，有的能得到AN与CN的斜率，但能证两斜率相等的同学不多。因为要证两斜率相等，必先找到

的关系，而该关系是通过两根之和与两根之积给出的，必须构造出两根之和与两根之积：可通过作差去构造，实质是作差法证相等。

上面的解法中，我们利用直线AC过点N时，三点A、C、N共线，利用向量共线定理充要条件，化简后直接用到两根之和与两根之积，使问题解决。体现出向量共线定理直接给出坐标之间的内在关系，不用我们再去作差构造了。从而可见向量共线解决解析几何问题的优越性。

解析几何中的垂直、共线问题，应这样用：垂直问题，先设坐标，利用数量积为零找坐标联系，再与两根之和、两根之积联系起来去求，如

，可设，，则

，则

，联立方程消元后用韦达定理求。共线问题，先设坐标，利用共线找坐标的内在联系，结合韦达定理求。尤其是那些隐性的共线关系，一定要先化简找到共线关系再去求。定比分点问题的实质也是共线问题。

解析几何中的垂直、共线问题，可以用老教材中的传统方法，也可以用向量垂直、向量共线这些方法，不仅可省去某些讨论（如斜率存在不存在），也可直接抓住坐标的内在联系，不用我们再去费尽心血去构造了。

▍ 来源：综合网络

▍ 编辑：Wordwuli

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